Question

5．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM．PN．
求证：（1）$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AN}{AC}$；
（2）当∠ABC=45°时，BN=$\sqrt{2}$PC；
（3）△PMN为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）证明△AMB∽△ANC，根据相似三角形的性质证明；
（2）根据直角三角形的性质得到PB=PN=PC，根据等腰直角三角形的判定和性质解答；
（3）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半证明．

解答 证明：（1）∵BM⊥AC，CN⊥AB，∠A=∠A，
∴△AMB∽△ANC，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AN}{AC}$；
（2）∵CN⊥AB，P为BC边的中点，
∴PB=PN=PC，
∵∠ABC=45°，
∴∠BPN=90°，
∴BN=$\sqrt{2}$PN，又PN=PC，
∴BN=$\sqrt{2}$PC；
（3）∵CN⊥AB，P为BC边的中点，
∴PN=$\frac{1}{2}$BC，
∵BM⊥AC，P为BC边的中点，
∴PM=$\frac{1}{2}$BC，
∴PM=PN，
∴△PMN为等腰三角形．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．