Question

探究问题：
已知AD、BE分别为△ABC 的边BC、AC上的中线，且AD、BE交于点O．
（1）△ABC为等边三角形，如图1，则AO：OD=______；
（2）当小明做完（1）问后继续探究发现，若△ABC为一般三角形（如图2），（1）中的结论仍成立，请你给予证明．
（3）运用上述探究的结果，解决下列问题：
如图3，在△ABC中，点E是边AC的中点，AD平分∠BAC，AD⊥BE于点F，若AD=BE=4．求：△ABC的周长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接DE，由三角形中位线性质，即可得DE∥AB，DE=AB，则可证得△ODE∽△OAB，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AO：OD的值；
（2）同（1），连接DE，由三角形中位线性质，即可得DE∥AB，DE=AB，则可证得△ODE∽△OAB，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AO：OD的值；
（3）过点C作CG∥BE，交AB延长线于点G，并延长AD交CG于点H，易证得△ABE与△ACG是等腰三角形，利用（2）的结论与勾股定理，即可求得AB、BC、AC的长．
解答：（1）解：连接DE，
∵AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，
∴DE∥AB，DE=AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴AO：OD=AB：DE=2：1．
故答案为：2：1；

（2）证明：连接DE，
∵D、E为AC、BC中点，
∴DE∥AB，DE=AB，
∴△DOE∽△AOB，
∴AO：OD=AB：DE=2：1．

（3）解：过点C作CG∥BE，交AB延长线于点G，并延长AD交CG于点H．
∵E是边AC的中点，
∴B是边AG的中点，
∴BE是△ACG中位线，
∵AD平分∠BAC，AD⊥BE于点F，
∴∠BAF=∠EAF，∠AFB=∠AFE=90°，
在△ABF和△AEF中，
∵，
∴△ABF≌△AEF（AAS），
∴AB=AE，
∵BE∥CG，
∴AB：AG=AE：AC，
∴AG=AC，
∵AF⊥BE，
∴AH⊥CG，
∴H为CG中点，
由上述结果可知：AD：DH=2：1，CD：DB=2：1，
∴DH=AD=×4=2，
∴AH=AD+DH=6，
∵CG=2BE=8，
∴CH=GH=4，
∵BE为中位线，
∴AF=FH=AH=3，
∴DF=AD-AF=4-3=1，
在Rt△DHC中，CD===2，
∴BD=CD=，
∴BC=BD+CD=3，
在Rt△AHC中，AC===2，
∴AB=AG=AC=，
∴△ABC周长为：AB+BC+AC=+3+2=3+3．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．