Question

已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABD和△APE，连接DE并延长交BP于点F．
（1）如图（1）所示：当∠APB=30°时，DF

 

BF（请用“＞”“=”或“＜”填空）
（2）当∠APB≠30°时，其余条件均不变，请画出相应的图形；
（3）请结合所画出的图形，分析（1）的结论还成立吗？如果成立请证明；如果不成立请写出新的结论并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）连接AF，求出AD=AB，根据勾股定理求出BF=DF即可；
（2）根据题意画出图形即可；
（3）分为两种情况，证△ABP≌△AED，推出∠ADE=∠ABP=90°，即可得出答案．

解答：（1）解：DF=BF，
理由是：连接AF，
∵∠APB=30°，∠ABP=90°，
∴AB=

1

2

AP，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD=DP，
在Rt△ABF和Rt△ADF中，AF=AF，AB=AD，由勾股定理得：BF=DF，
故答案为：=．


（2）如图：

（3）成立，
证明：∵∠BAP=∠BAD+∠DAP=60°+∠DAP，
∠EAD=∠EAP+∠DAP=60°+∠DAP，
∴∠BAP=∠EAD，
在△ABP和△AED中

AB=AD ∠BAP=∠EAD AP=AE

∴△ABP≌△AED，
∴∠ADE=∠ABP=90°，
∴∠BDF=90°-60°=30°
又∵∠DBF=90°-60°=30°，
∴DF=BF；
如图（2）
证明：∵∠BAP=∠BAD-∠DAP=60°-∠DAP，
∠EAD=∠EAP-∠DAP=60°-∠DAP，
∴∠BAP=∠EAD．             
在△ABP和△AED中

AB=AD ∠BAP=∠EAD AP=AE

∴△ABP≌△AED，
∴∠ADE=∠ABP=90°，
∴∠BDF=90°-60°=30°
又∵∠DBF=90°-60°=30°，
∴DF=BF．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，难度偏大．