Question

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．

（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；
（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点 E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，∠BPC=90°，易证得△ABP∽△DPC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得此时PC的长；
（2）首先过点F作FG⊥AD于点G．易证得△APE∽△GFP，然后由相似三角形的对应边成比例，易求得tan∠PEF=

PF

PE

=2．即可得∠PEF的大小不发生变化．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AP=1，CD=AB=2，
∴PB=

5

，∠ABP+∠APB=90°．
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°．
∴∠ABP=∠DPC．
∴△ABP∽△DPC．
∴

AP

CD

=

PB

PC

，
即

1

2

=

5

PC

．
∴PC=2

5

；

（2）∠PEF的大小不变．
理由：过点F作FG⊥AD于点G．
∴四边形ABFG是矩形．
∴∠A=∠AGF=90°．
∴GF=AB=2，∠AEP+∠APE=90°．
∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°．
∴∠AEP=∠GPF．
∴△APE∽△GFP，
∴

PF

PE

=

GF

AP

=

2

1

=2．
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=

PF

PE

=2．
即tan∠PEF的值不变．
∴∠PEF的大小不变．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．