Question

7．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产的产品供不应求，若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于44万元，每套产品的售价不低于80万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y₁（万元）间满足关系式y₁=160-2x，月产量x（套）与生产总成本y₂（万元）存在如图所示的函数关系．
（1）直接写出y₂与x之间的函数关系式；
（2）求月产量x的范围；
（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）设函数关系式为y₂=kx+b，把（30，1200）（40，1400）代入求解即可；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围；
（3）根据等量关系“设备的利润=每台的售价×月产量-生产总成本”列出函数关系式求得最大值．

解答 解：（1）设y₂与x的函数关系式为y₂=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{1400=40k+b}\\{1200=30k+b}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=20}\\{b=600}\end{array}\right.$，
∴y₂与x之间的函数关系式是y₂=20x+600；
（2）由题意可得，$\left\{\begin{array}{l}{20x+600≤44x}\\{160-20x≥80}\end{array}\right.$，
解得，25≤x≤40，
即月产量x的取值范围是25≤x≤34；
（3）由题意可得，
W=xy₁-y₂=x（160-20x）-20x-600，
=-2（x-35）²+1850，
∵25≤x≤40，
∴x=35时，W取得最大值，此时W=1850，
即当月产量x（套）为35套时，这种产品的利润W（万元）最大，最大利润是2650万元．

点评 本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答此类题目的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的顶点式求函数的最值，注意自变量的取值范围．