Question

（2013•新余模拟）如图：把一张给定大小的矩形卡片ABCD放在间距为10mm的横格纸中（所有横线互相平行），恰好四个顶点都在横格线上，AD与l₂交于点E，BD与l₄交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）已知α=25°，求矩形卡片的周长．（可用计算器求值，答案精确到1mm，参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）

Answer 1

分析：（1）利用已知条件首先证明四边形BFDE是平行四边形，利用全等的性质得到BE=FD，再根据“Hl”即可证明△ABE≌△CDF；
（2）作AF⊥l₄于F，交l₂于E．在Rt△ABE中根据三角函数即可求得AB的长；在直角△AFD中，根据三角函数即可求得AD的长，从而求得长方形卡片的周长．

解答：（1）证明：∵l₂∥l₄ BC∥AD，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=FD，
∵AB=CD，∠BAE=∠FCD=90゜
∴△ABE≌△CDF（HL）；

（2）过A作AG⊥l₄，交l₂于H，
∵α=25°，
∴∠ABE=25°
∴sin∠ABE=

AH

AB

≈0.42，
解得：AB≈47.62，
∵∠ABE+∠AEB=90゜∠HAE+∠AEB=90゜，
∴∠HAE=25゜
∴cos∠DAG=

AG

AD

≈0.91，
解得：AD≈43.96，
∴矩形卡片ABCD的周长为（47.62+43.96）×2≈183（mm）．

点评：本题考查了矩形对边相等的性质，全等三角形的判定，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．通过作辅助线构造直角三角形是解决本题的关键．