Question

（2009•宜昌）已知：如图，⊙O的直径AD=2，，∠BAE=90度．
（1）求△CAD的面积；
（2）如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P，那么点P落在四边形ABCD区域的概率是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由直径对的圆周角是90°，得∠ACD=∠BAE=90°，由得∠BAC=∠CAD=∠DAE，
所以∠BAC=∠CAD=∠DAE=30°，在Rt△ACD中，AD=2，CD=2sin30°=1，AC=2cos30°=，即S_△ACD=AC×CD=．
（2）连BD，作BF⊥AC，垂足为F，求得四边形ABCD的面积和圆的面积的比，根据概率的意义求得P点落在四边形ABCD区域的概率．
解答：解：（1）∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=∠BAE=90°．
∵，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE．
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=30°．
∵在Rt△ACD中，AD=2，CD=2sin30°=1，AC=2cos30°=．
∴S_△ACD=AC×CD=．

（2）解法1：连BD，
∵∠ABD=90°，∠BAD=60°，
∴∠BDA=∠BCA=30°，
∴BA=BC．
作BF⊥AC，垂足为F，
∴AF=AC=，
∴BF=AFtan30°=，
∴S_△ABC=AC×BF=，
∴S_ABCD=．
∵S_⊙O=π，
∴P点落在四边形ABCD区域的概率==．

（2）解法2：作CM⊥AD，垂足为M．
∵∠BCA=∠CAD（证明过程见解法1），
∴BC∥AD．
∴四边形ABCD为等腰梯形．
∵CM=ACsin30°=，
∴S_ABCD=（BC+AD）CM=．
∵S_⊙O=π，
∴P点落在四边形ABCD区域的概率==．
点评：本题利用了在圆中弧与弦的关系和直角三角形的性质、锐角三角函数的概念及概率的概念求解．用到的知识点为：等弧所对的圆周角相等；概率=相应的面积与总面积之比．