Question

如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，B、C、E在同一直线上，AE、BD交于点G，AC交BD于M，CD交AE于N，连接CG．
（1）若AB=2，DE=5，求AE的长．
（2）求证：EG=CG+DG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）过A作AP⊥BE于P，求出CP，求出PE，根据勾股定理求出AE即可．
（2）证△ACE≌△BCD，推出△ACE≌△BCD，推出∠BDC=∠AEC，证△DGC≌△EFC，推出CG=CF，∠GCD=∠FCE，得出等边三角形GCF，推出CG=GF即可．

解答：（1）解：过A作AP⊥BE于P，
在等边三角形△ABC中，BC=2，
∴CP=

1

2

BC=1，PA=

AC2-CP2

=

22-12

=

3

，
∵CE=5，
∴PE=CP+CE=6，
在Rt△APE中，AE=

AP2+PE2

=

3+62

=

39

，

（2）证明：在EG上截取FE=DG，连接CF，CG，
在等边△ABC和等边△DCE中，
AC=BC，CE=CD，∠DCE=∠BCA=60°，
∴∠DCE+∠DCM=∠BCA+∠DCM，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

     
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠BDC=∠AEC，
在△DGC和△EFC中，

DG=EF ∠GDC=∠FEC DC=EC

 
∴△DGC≌△EFC（SAS），
∴CG=CF，∠GCD=∠FCE，
∵∠FCE+∠FCD=60°，
∴∠GCD+∠FCD=60°，即∠GCF=60°
∴△GCF为等边三角形，
∴CG=GF，
∴GE=GF+FE=GD+CG，
即EG=CG+DG．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．