Question

如图，A、B是一条河l同侧的两个村庄，且A、B两个村庄到河的距离分别是300m和500m，两村庄之间的距离AB为d（已知d²=400000m²），现要在河边l上建造一水厂，向A、B两村送水，铺设水管的工程费用为每米200元，修建该工程政府出资8万元，问两个村庄村民自筹资金至少多少元？

Answer 1

解：如图：

作A关于河的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离．
过A作AG⊥BF于G，过E作EF⊥BF于F，
∵AC=300，BD=500，
∴BG=500-300=200，GD=AC=300，CE=DF=AC=300，BF=500+300=800．
在Rt△ABG中，AB²=AG²+BG²，
400000=AG²+200²
解得：AG=600，
∴EF=600．
在Rt△BEF中，EF=600，BF=800，
由勾股定理得：BE==1000．
总费用是：200×1000=200000=20（万元），
即需要自筹20万元-8万元=12万元．
分析：本题是求线段最短的问题，可作出点A关于河的对称点E，连接BE，则BE就是所求的最短距离，再构造直角三角形，由勾股定理求得BE的值．
点评：本题利用了轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质求解．