Question

【题目】如图，△ABC内接于圆O，且AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交圆O于点E．

（1）求证：△ABE≌△CDE；

（2）填空：

①当∠ABC的度数为　 　时，四边形AOCE是菱形．

②若AE＝，AB＝2，则DE的长为　 　．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①60°；②．

【解析】

（1）根据AAS证明两三角形全等；

（2）①先证明∠AOC＝∠AEC＝120°，∠OAE＝∠OCE＝60°，可得AOCE，由OA＝OC可得结论；

②由△ABE≌△CDE知AE＝CE＝，AB＝CD＝2，，证△DCE∽△DAB得，据此求解即可．

（1）∵AB＝AC，CD＝CA，

∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD，

∵四边形ABCE是圆内接四边形，

∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC，

∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，

∴∠CED＝∠AEB，

∴△ABE≌△CDE（AAS）；

（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；

理由是：连接AO、OC，

∵四边形ABCE是圆内接四边形，

∴∠ABC+∠AEC＝180°，

∵∠ABC＝60，

∴∠AEC＝120°＝∠AOC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝30°，

∵AB＝AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵∠ACB＝∠CAD+∠D，

∵AC＝CD，

∴∠CAD＝∠D＝30°，

∴∠ACD=120°,

∵∠ECD=∠BAE=60°+30°=90°，

∴∠ACE＝,120°﹣90°＝30°，

∴∠OAE＝∠OCE＝60°，

∴四边形AOCE是平行四边形，

∵OA＝OC，

∴AOCE是菱形；

②∵△ABE≌△CDE，

∴AE＝CE＝，AB＝CD＝2，

∵∠DCE＝∠DAB，∠D＝∠D，

∴△DCE∽△DAB，

∴，即，

解得DE＝，

故答案为：．