分析 （1）根据矩形OABC中OA=4，OC=3以及矩形的性质，得出B点坐标，再由PG∥AB，得出△OPG∽△OBA，利用相似三角形对应边成比例得出P点坐标；
（2）利用PG以及OM的长表示出△OMP的面积，再根据二次函数的性质求出最大值即可；
（3）△OMP是等腰三角形时，分三种情况：①PO=PM；②OP=OM；③OM=PM．画出图形，分别求出即可．
解答 解：（1）∵矩形OABC中，OA=4，OC=3，
∴B点坐标为（4，3）．
如图，延长NP，交OA于点G，则PG∥AB，OG=CN=x．
∵PG∥AB，
∴△OPG∽△OBA，
∴$\frac{PG}{AB}$=$\frac{OG}{OA}$，即$\frac{PG}{3}$=$\frac{x}{4}$，解得PG=$\frac{3}{4}$x，
∴点P的坐标为（x，$\frac{3}{4}$x）；
（2）∵在△OMP中，OM=4-x，OM边上的高为$\frac{3}{4}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$（4-x）•$\frac{3}{4}$x=-$\frac{3}{8}$x2+$\frac{3}{2}$x，
∴S与x之间的函数表达式为S=-$\frac{3}{8}$x2+$\frac{3}{2}$x（0＜x＜4）．
配方，得S=-$\frac{3}{8}$（x-2）2+$\frac{3}{2}$，
∴当x=2时，S有最大值，最大值为$\frac{3}{2}$；
（3）存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形．理由如下：
①如备用图1，若PO=PM，则OG=GM=CN=x，
即3x=4，解得：x=$\frac{4}{3}$，
所以M（$\frac{8}{3}$，0）；
②如备用图2，若OP=OM，则$\frac{OG}{cos∠AOB}$=OM，
即$\frac{5}{4}$x=4-x，解得：x=$\frac{16}{9}$，
所以M（$\frac{20}{9}$，0）；
③如备用图3，若OM=PM时，
∵PG=$\frac{3}{4}$x，GM=OM-OG=（4-x）-x=4-2x，
∴PM2=PG2+GM2=（$\frac{3}{4}$x）2+（4-2x）2，
∵OM=4-x，
∴（4-x）2=（$\frac{3}{4}$x）2+（4-2x）2，解得：x=$\frac{128}{57}$，
所以，M（$\frac{384}{57}$，0）．
综上所述，M的坐标为（$\frac{8}{3}$，0）或（$\frac{20}{9}$，0）或（$\frac{384}{57}$，0）．
点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论以及方程思想是解题的关键．
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