Question

如图，菱形ABCD周长为16，∠ADC=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,菱形的性质

专题：

分析：连接BD，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAD=

1

2

∠ADC=60°，然后判断出△ABD是等边三角形，连接DE，根据轴对称确定最短路线问题，DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，然后根据等边三角形的性质求出DE即可得解．

解答：解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=

1

2

∠ADC=

1

2

×120°=60°，
∵AB=AD（菱形的邻边相等），
∴△ABD是等边三角形，
连接DE，∵B、D关于对角线AC对称，
∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，
∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵菱形ABCD周长为16，
∴AD=16÷4=4，
∴DE=

3

2

×4=2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键．