Question

【题目】如图，在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，P点在BC上，从B点到C点运动(不包括C点)，点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点(不包括A点)，速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：

（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5cm？

（2）经过多少时间后，的面积为15cm2？

（3）设运动时间为t，用含t的代数式表示△PCQ的面积，并用配方法说明t为何值时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

【答案】（1）经过1秒后，P、Q两点的距离为5cm；（2）经过或2秒后，的面积为15cm2；（3）=；当时，最大，最大面积为

【解析】

（1）连接PQ，根据勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，∠C=90°，然后设x秒后，P、Q两点的距离为5cm，根据勾股定理列出方程即可求出结论；

（2）设y秒后，的面积为15cm2，根据三角形的面积公式列出方程即可求出结论；

（3）利用三角形的面积公式即可用含t的代数式表示△PCQ的面积，然后配方，根据平方的非负性即可求出的取值范围，从而求出其最值．

解：（1）连接PQ，

∵在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，

∴BC2＋AC2=625=AB2

∴△ABC为直角三角形，∠C=90°

设x秒后，P、Q两点的距离为5cm

根据题意可得BP=2x,CQ=5x

∴CP=BC－BP=7－2x

根据勾股定理可得CP2＋CQ2=PQ2

即（7－2x）2＋（5x）2=（5）2

解得：（不符合实际，舍去）

答：经过1秒后，P、Q两点的距离为5cm．

（2）设y秒后，的面积为15cm2

根据题意可得BP=2y,CQ=5y

∴CP=BC－BP=7－2y

∴

解得：

答：经过或2秒后，的面积为15cm2．

（3）根据题意可得BP=2t,CQ=5t

∴CP=BC－BP=7－2t

∴=

=

=

=

=

=

∵

∴

∴（当且仅当取等号），即

∴当时，最大，最大面积为．