Question

18．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D，E分别是边BC，AB的中点，AD平分EP，试判断以EP为直径的圆与直线AC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，在Rt△ABD中，利用勾股定理计算出AD=8，由点E为AB的中点，EF∥BD得到EF为△ABD的中位线，则EF=$\frac{1}{2}$BD=3，AF=DF=$\frac{1}{2}$AD=4，再利用“AAS”证明△OEF≌△OPD，则OF=OD=$\frac{1}{2}$DF=2，所以AO=AF+OF=6，然后在Rt△OEF中，由勾股定理求出OE=$\sqrt{13}$，证明Rt△AOH∽Rt△ACD，利用相似比计算出OH，再比较OE与OH的大小，即可得出结果．

解答 解：以EP为直径的圆与直线AC相交．理由如下：
作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如图所示，
在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=8，
∵点E为AB的中点，
而EF∥BD，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=3，AF=DF=$\frac{1}{2}$AD=4，
∵AD平分EP，
∴OE=OP，
∴OE=OP，
在△OEF和△OPD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EFO=∠PDO}&{\;}\\{∠EOF=∠POD}&{\;}\\{OE=OP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OEF≌△OPD（AAS），
∴OF=OD，
∴OF=$\frac{1}{2}$DF=2，
∴AO=AF+OF=6，
在Rt△OEF中，EF=3，OF=2，
∴OE=$\sqrt{E{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵∠OAH=∠CAD，
∴Rt△AOH∽Rt△ACD，
∴OH：CD=AO：AC，
即OH：6=6：10，
解得OH=$\frac{18}{5}$，
∵OE=$\sqrt{13}$=$\frac{\sqrt{325}}{5}$，OH=$\frac{18}{5}$=$\frac{\sqrt{324}}{5}$，
∴OE＞OH，
∴以EP为直径的圆与直线AC相交．

点评 本题考查了圆的位置关系的判定方法、等腰三角形的性质勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等和三角形相似才能得出结论．