Question

6．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=$2\sqrt{3}$，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当边FG恰好经过点C时，由∠CFB=60°得BF=3-t，在Rt△CBF中，根据三角函数求得t的值；
（2）根据运动的时间为t不同的取值范围，求等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S的值，当0≤t＜1时，重叠部分是直角梯形，面积S等于梯形的面积，
当1≤t＜3时，重叠部分是S_梯形MKFE-S_△QBF，当3≤t＜4时，重叠部分是S_梯形MKFE，当4≤t＜6时，重叠部分是正三角形的面积；
（3）当AH=AO=3时，AM=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{3}{2}$，在R_t△AME中，由cos∠MAE=$\frac{AM}{AE}$即cos30°=$\frac{\frac{3}{2}}{AE}$，得AE=$\sqrt{3}$，即3-t=$\sqrt{3}$或t-3=$\sqrt{3}$，求出t=3-$\sqrt{3}$或t=3+$\sqrt{3}$；
当AH=HO时，∠HOA=∠HAO=30°，又因为∠HEO=60°得到∠EHO=90°EO=2HE=2AE，再由AE+2AE=3，求出AE=1，即3-t=1或t-3=1，求出t=2或t=4；
当OH=OA=时∠HOB=∠OAH=30°，所以∠HOB=60°=∠HEB，得到点E和点O重合，从而求出t的值．

解答 解：（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，
∠CFB=∠GFE=60°，∠BCF=30°，
∵BF=3-t，BC=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠BCF=$\frac{BF}{BC}$，
即tan30°=$\frac{3-t}{2\sqrt{3}}$，
解得t=1
∴当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，t=1；
（2）①如图1，当0≤t＜1时，作MN⊥AB于点N，
∵tan∠MEN=tan60°=$\frac{MN}{EN}$=$\frac{2\sqrt{3}}{EN}=\sqrt{3}$，
∴EN=2，
∵BE=BO+0E=3+t，EN=2，
∴CM=BN=BE-EN=3+t-2=t+1，
∴S=$\frac{1}{2}$（CM+BE）×BC=$\frac{1}{2}×$（t+1+3+t）×$2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$．
②如图2，当1≤t＜3时，
∵EF=OP=6，
∴GH=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∵$\frac{MK}{EF}$=$\frac{GH-MN}{GH}$，
∴$\frac{MK}{6}=\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$
解得MK=2，
又∵BF=3-t，BQ=$\sqrt{3}$BF=$\sqrt{3}$（3-t），
∴S=S_梯形MKFE-S_△QBF，
=$\frac{1}{2}×$（2+6）×2$\sqrt{3}$$-\frac{1}{2}$×（3-t）×$\sqrt{3}$×（3-t）
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+3$\sqrt{3}$t+$\frac{7\sqrt{3}}{2}$．
③如图3，当3≤t＜4时
∵MN=2$\sqrt{3}$，EF=6-2（t-3）=12-2t，
∴GH=（12-2t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∴$\frac{MK}{EF}$=$\frac{GH-MN}{GH}$，
∴MK=8-2t，
S=-4$\sqrt{3}$t+20$\sqrt{3}$；
④如图4，当4≤t＜6时，
∵EF=12-2t，
高为：EF•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF
S=$\sqrt{3}$t²-12$\sqrt{3}$t+36$\sqrt{3}$；
（3）存在t，使△AOH是等腰三角形．
理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAB=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=3-t或t-3
①如图5，
当AH=AO=3时，过点E作EM⊥AH于M，
则AM=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{3}{2}$，
在Rt△AME中，cos∠MAE=$\frac{AM}{AE}$，
即cos30°=$\frac{\frac{3}{2}}{AE}$，
∴AE=$\sqrt{3}$，即3-t=$\sqrt{3}$或t-3=$\sqrt{3}$，
∴t=3-$\sqrt{3}$或t=3+$\sqrt{3}$．

②如图6，
当HA=HO时，
则∠HOA=∠HAO=30°
又∵∠HEO=60°，
∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=3，
∴AE+2AE=3，AE=1，
即3-t=1或t-3=1，
∴t=2或t=4；
③如图7，
当OH=OA时，
则∠OHA=∠OAH=30°
∴∠HOB=60°=∠HEB，
∴点E和点O重合，
∴AE=AO=3，
当E刚开始运动时3-t=3，
当点E返回O时是：t-3=3，
即3-t=3或t-3=3，t=6（舍去）或t=0；
，综上，可得存在t，使△AOH是等腰三角形，此时t=3-$\sqrt{3}$、3+$\sqrt{3}$、2、4或0．

点评 此题主要考查了 平行四边形的性质、平行四边形的判定、矩形、矩形的性质、矩形的判定、菱形、菱形的性质、菱形的判定 等知识，关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论．