Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tan∠CAO=3．点P是线段CB上一点（不和B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，
（1）求抛物线的解析式．
（2）小明认为当点Q恰好为抛物线的顶点时，线段PQ的长最大，你认为小明的说法正确吗？如果正确，说明理由；如果不正确，试举出反例说明．
（3）若△CPQ是直角三角形，求点P的坐标．
（4）设PH和PQ的长是关于y的一元二次方程：y²-（m+3）y+

1

4

（5m²-2m+13）=0 （m为常数）的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，若MP恰好平分∠QMH，求出此时点M的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）当x=0时代入抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求出OA的值，得出A的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；
（2）根据抛物线的解析式转化成顶点式，求得顶点坐标，然后设P（t，-t+3），则Q（t，-t²+2t+3），则PQ=-t²+2t+3+t-3=-t²+3t=-（t-

3

2

）²+

9

4

，
所以当t=

3

2

时PQ的值最大，求得此时的坐标为（

3

2

，

9

4

）所以小明的观点是错误的；
（3）分两种情况分别讨论求得；当∠PCQ=90°时，设直线CQ为y=kx+3，P（t，-t+3），则Q（t，-t²+2t+3），先求得直线CQ的解析式得出斜率为k=-t+2，然后根据直线y=-x+n的斜率为-1，所以k=-t+2=1，从而求得t=1，进而求得P的坐标；当∠PQC=90°时，则CQ∥x轴，可知Q的纵坐标，进而求得横坐标，把横坐标代入直线BC的解析式即可求得P的坐标；
（4）根据根的判别式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，就可以得出四边形LQMH是平行四边形，进而得出四边形LQMH是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．

解答：解：（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n，y=ax²+bx+3=3，
∴OC=3=n．
当y=0，
∴-x+3=0，x=3=OB，
∴B（3，0）．
在△AOC中，tan∠CAO=3，
∴OA=1，
∴A（-1，0）．
将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx+3，
得

9a+3b+3=0 a-b+3=0

，
解得：

a=-1 b=2

，
∴抛物线的解析式：y=-x²+2x+3；
（2）不正确；
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+2，
∴抛物线的顶点（1，2）
∵点P是线段CB上，CB是直线y=-x+3上的线段，
∴设P（t，-t+3），则Q（t，-t²+2t+3），
∴PQ=-t²+2t+3+t-3=-t²+3t=-（t-

3

2

）²+

9

4

，
∴当t=

3

2

时PQ的值最大，
此时的坐标为（

3

2

，

9

4

），
所以小明认为当点Q恰好为抛物线的顶点时，线段PQ的长最大，是错误的；
（3）当∠PCQ=90°时，设直线CQ为y=kx+3，
∵P（t，-t+3），则Q（t，-t²+2t+3），
∴-t²+2t+3=tk+3，
解得：k=-t+2，
∵△CPQ是直角三角形，直线y=-x+n的斜率为-1，
∴直线CQ的斜率为1，
∴-t+2=1，解得：t=1，
∴P（1，2）
当∠PQC=90°时，则CQ∥x轴，
∴Q点的纵坐标为3，
把y=3代入抛物线y=-x²+2x+3得3=-x²+2x+3；
解得x=0，或x=2，
∴Q（2，3），
把x=2代入直线y=-x+3得，y=-2+3=1，
∴P（2，1）；
综上若△CPQ是直角三角形，则点P的坐标为（1，2）或（2，1）．
（4）∵y²-（m+3）y+

1

4

（5m²-2m+13）=0（m为常数）有两个实数根，
∴△≥0，即△=（m+3）²-4×

1

4

（5m²-2m+13）≥0
整理得：△=-4（m-1）²≥0．
∵-4（m-1）²≤0，
∴△=0，
∴-4（m-1）²=0
∴m=1，
∴y²-4y+4=0．
∵PQ与PH是y²-4y+4=0的两个实数根，
解得：y₁=y₂=2
∴PQ=PH=2，
∴-t+3=2，
∴t=1，
∵y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴抛物线的顶点坐标是（1，4）．
∴此时Q是抛物线的顶点，
延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图，

∵LP=MP，PQ=PH，
∴四边形LQMH是平行四边形，
∴LH∥QM，
∴∠1=∠3．
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴LH=MH，
∴平行四边形LQMH是菱形，
∴PM⊥QH，
∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，
∴在y=-x²+2x+3中，当y=2时，
∴x²-2x-1=0，
∴x₁=1+

2

，x₂=1-

2

．
综上所述：t值为1，M点坐标为（1+

2

，2）或（1-

2

，2）．

点评：本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，根的判别式的运用，一元二次方程的解法的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用，菱形的判定及性质的运用，分类讨论思想的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．