【题目】如图,在矩形ABCD中,AC为对角线,点P为BC边上一动点,连接AP,过点B作BQ⊥AP,垂足为Q,连接CQ.
⑴证明:△ABP∽△BQP;
⑵当点P为BC的中点时,若∠BAC=37°,求∠CQP的度数;
⑶当点P运动到与点C重合时,延长BQ交CD于点F,若AQ=AD,则等于多少.
【答案】(1)证明见解析;(2)∠CQP=53°;(3).
【解析】
(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断.
(2)只要证明△CPQ∽△APC,可得∠PQC=∠ACP即可解决问题.
(3)连接AF.与Rt△ADF≌Rt△AQF(HL),推出DF=QF,设AD=AQ=BC=m,DF=FQ=x,FC=y,CQ=a,证明△BCQ∽△CFQ,可得,推出,即=,由CF∥AB,可得,推出,可得,推出x2+xy﹣y2=0,解得或(舍弃),由此即可解决问题.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABP=90°,
∵BQ⊥AP,
∴∠BQP=∠ABP=90°,
∵∠BPQ=∠APB,
∴△ABP∽△BQP.
(2)解:∵△ABP∽△BQP,
∴,
∴PB2=PQPA,
∵PB=PC,
∴PC2=PQPA,
∴,
∵∠CPQ=∠APC,
∴△CPQ∽△APC,
∴∠PQC=∠ACP,
∵∠BAC=37°,
∴∠ACB=90°﹣37°=53°,
∴∠CQP=53°.
(3)解:连接AF.
∵∠D=∠AQF=90°,AF=AF,AD=AQ,
∴Rt△ADF≌Rt△AQF(HL),
∴DF=QF,设AD=AQ=BC=m,DF=FQ=x,FC=y,CQ=a,
∵∠BCF=∠CQB=∠CQF=90°,
∴∠BCQ+∠FCQ=90°,∠∠CBQ=90°,
∴∠FCQ=∠CBQ,
∴△BCQ∽△CFQ,
,
,
,
∵CF∥AB,
,
,
,
∴x2+xy﹣y2=0,
∴x=y或y(舍弃),
,
,
故答案是:.
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【题目】如图,△ABC 中,∠C=90°,CA=CB,D 为 AC 上的一点,AD=3CD,AE⊥AB 交 BD 延长线于 E,记△EAD,△DBC 的面积分别为 S1,S2,则 S1:S2=______.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,,E是OB的中点,连接CE并延长到点F,使EF=CE.连接AF交⊙O于点D,连接BD,BF.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若OB=2,求BD的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O,A点坐标为(4,0),B点坐标为(﹣1,0),以AB的中点P为圆心,AB为直径作⊙P的正半轴交于点C.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式;
(2)设M为(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应的函数解析式;
(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】某校课程中心为了了解学生对开设的3D打印、木工制作、机器人和电脑编程四门课程的喜爱程度,随机调查了部分学生,每人只能选一项最喜爱的课程.图①是四门课程最喜爱人数的扇形统计图,图②是四门课程男、女生最喜爱人数的条形统计图.
(1)求图①中的值,补全图②中的条形统计图,标上相应的人数;
(2)若该校共有1800名学生,则该校最喜爱3D打印课程的学生约有多少人?
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【题目】已知:如图,平行四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.
(1)求证:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m为实数);⑤当﹣1<x<3时,y>0,其中正确的是( )
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣x与反比例函数y=的图象交于A,B两点(点A在点B左侧),已知A点的纵坐标是2:
(1)求反比例函数的表达式;
(2)将直线l1:y=﹣x向上平移后的直线l2与反比例函数y=在第二象限内交于点C,如果△ABC的面积为30,求平移后的直线l2的函数表达式.
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