Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，∠C＝60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．

(1)求证：AE＝GF；

(2)设AE＝1，求四边形DEGF的面积

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C＝60°， 　　∴，又∵， 　　∴．∴． 　　∴　　1分 　　由已知，∴AE∥DC　　2分 　　又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点， 　　∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD． 　　∴四边形AEFD是平行四边形　　3分 　　∴AE＝DF　　4分 　　∵F是DC的中点，DG是梯形的高 　　∴GF＝DF　　5分 　　∴AE＝GF　　6分 　　(2)解：在Rt△AED中，，∵AE＝1，∴AD＝2． 　　在Rt△DGC中∠C＝60°，并且DC＝AD＝2，∴DG＝　　8分 　　由(1)知：在平行四边形AEFD中EF＝AD＝2，又∵，∴， 　　∴四边形DEGF的面积＝EF·DG＝　　10分