反比例函数y=$\frac{a}{x}$和y=$\frac{2}{x}$在第一象限内的图象如图所示.点M在y=$\frac{a}{x}$的图象上.MC⊥x轴于点C.交y=$\frac{2}{x}$的图象于点A,MD⊥y轴于点D.交y=$\frac{2}{x}$的图象于点B.当点M在y=$\frac{a}{x}$的图象上运动时.以下结论:①S△ODB=S△OCA,②四边形OAMB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．

反比例函数y=$\frac{a}{x}$（a＞0，a为常数）和y=$\frac{2}{x}$在第一象限内的图象如图所示，点M在y=$\frac{a}{x}$的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=$\frac{2}{x}$的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=$\frac{2}{x}$的图象于点B，当点M在y=$\frac{a}{x}$的图象上运动时，以下结论：
①S_△ODB=S_△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论是（　　）

A．

①②

B．

①③

C．

②③

D．

①②③

分析 ①由反比例系数的几何意义可得答案；
②由四边形OAMB的面积=矩形OCMD面积-（三角形ODB面积+面积三角形OCA），解答可知；
③连接OM，点A是MC的中点可得△OAM和△OAC的面积相等，根据△ODM的面积=△OCM的面积、△ODB与△OCA的面积相等解答可得．

解答解：①由于A、B在同一反比例函数y=$\frac{2}{x}$图象上，则△ODB与△OCA的面积相等，都为$\frac{1}{2}$×2=1，正确；
②由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确；
③连接OM，点A是MC的中点，

则△OAM和△OAC的面积相等，
∵△ODM的面积=△OCM的面积=$\frac{a}{2}$，△ODB与△OCA的面积相等，
∴△OBM与△OAM的面积相等，
∴△OBD和△OBM面积相等，
∴点B一定是MD的中点．正确；
故选：D

点评本题考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

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