Question

8．已知：点E为AB边上的一个动点．
（1）如图1，若△ABC是等边三角形，以CE为边在BC的同侧作等边△DEC，连结AD．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若△ABC中，AB=AC，以CE为底边在BC的同侧作等腰△DEC，∠CDE=∠CAB连结AD．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，若四边形ABCD是边长为2的正方形，以CE为边在BC的同侧作正方形ECGF．
①试说明点G一定在AD的延长线上；
②当点E在AB边上由点B运动至点A时，点F随之运动，求点F的运动路径长．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质可知：BC=AC，CE=CD，然后再证明∠BCE=∠ACD，从而可得到△BCE≌△ACD故此可知∠B=∠DAC，由等边三角形的性质可得出∠DAB+∠B=180°，由此得出结论；
（2）由于△ABC和△DEC都是等腰三角形，且△DEC∽△ABC，从而可证得$\frac{DC}{CE}$=$\frac{AC}{BC}$，然后再证明∠DCA=∠ECB，所以△DCA∽△ECB，从而可证明∠DAC=∠ACB，由平行线的判定定理可知AD∥BC；
（3）①由正方形的性质可知BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，从而可证明△BCE≌△DCG 故此∠B=∠CDG=90°，由于∠ADC=90°，所以点G一定在AD的延长线上；②先证明∠BCE=∠FGH=∠GCD．从而可得到△FHG≌△GDC≌△EBC，然后再证明△AFH是等腰直角三角形，故此∠FAG=45°，所以点F的运动路径长=AC．

解答 解：（1）AD∥BC．
∵△ABC和△DEC都是等边三角形
∴∠DCE=∠ACB=60°
∴∠BCE=∠ACD．
在△BEC和△ADC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}BC=AC\\∠BCE=∠ACD\\ CE=CD\end{array}\right.$
∴△BCE≌△ACD．
∴∠B=∠DAC=60°，
∵∠CAB=60°，
∴∠DAB+∠B=180°，
∴AD∥BC．

（2）AD∥BC．
理由如下：
∵△ABC和△DEC都是等腰三角形，且△DEC∽△ABC
∴$\frac{DC}{CE}$=$\frac{AC}{BC}$．
∵∠DCE=∠ACB，
∴∠DCA=∠ECB．
∴△DCA∽△ECB．
∴∠DAC=∠EBC=∠ACB．
∴AD∥BC．
（3）①连结DG．
∵四边形ABCD和FECG都是正方形
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°．
∴∠BCE=∠DCG．
∴△BCE≌△DCG．
∴∠B=∠CDG=90°．
∵∠ADC=90°．
∴∠ADC+∠CDG=180°
∴点G一定在AD的延长线上．
②作FH⊥AG于点H．
∵∠BCE+ECD=90°，∠ECD+DCG=90°，
∴∠BCE=∠GCD．
∵∠GCD+∠CGD=90°，∠CGD+∠FGH=90°
∴∠FGH=∠GCD．
∴∠BCE=∠FGH=∠GCD．
在△FHG和△GDC和△EBC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠BCE=∠FGH=∠GCD\\∠EBC=∠CDG=∠FHG\\ EC=CG=FG\end{array}\right.$，
∴△FHG≌△GDC≌△EBC，
∴FH=BE=DG，HG=BC，
∴AH=AG-GH=AD+DG-GH=BC+DG-BC=DG=FH，
∴△AFH是等腰直角三角形，
∴∠FAG=45°．
∴点F的运动路径长=AC=$\sqrt{{AB}^{2}+{BC}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是四边形综合题，涉及到等腰三角形的性质、等边三角形的性质、正方形的性质以及全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，证得△DCA∽△ECB，△FHG≌△GDC≌△EBC是解题的关键．