Question

【题目】如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，以AB为直径的⊙O交AE于点C，CE的垂直平分线FD交BE于点D，连接CD．

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明；

（2）若AC＝6，CE＝8，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）CD与⊙O相切，证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OC，由于FD是CE的垂直平分线，所以∠E＝∠DCE，又因为∠A＝∠OCA，∠A+∠E＝90°，所以∠OCA+∠DCE＝90°，所以CD与⊙O相切．

（2）连接BC，易知∠ACB＝90°，所以△ACB∽ABE，所以由于ACAE＝84，所以OA＝AB＝．

（1）连接OC，如图1所示．

∵FD是CE的垂直平分线，

∴DC＝DE，

∴∠E＝∠DCE，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠OCA，

∵Rt△ABE中，∠B＝90°，

∴∠A+∠E＝90°，

∴∠OCA+∠DCE＝90°，

∴OC⊥CD，

∴CD与⊙O相切．

（2）连接BC，如图2所示．

∵AB是⊙O直径，

∴∠ACB＝90°，

∴△ACB∽ABE，

∴,

∵AC＝6，CE＝8，

∴AE=14，

∵ACAE＝84，

∴AB2＝84，

∴AB＝2，

∴OA＝．