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1.已知某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月要少卖10件.
(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每件售价不能高于65元,每个月的销售量为y件,求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
变式一:设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每件售价不能高于65元,每个月的销售利润为y件,求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
变式二:设每件商品的售价为x元(x为正整数),每件售价不能高于65元,每个月的销售利润为y件,求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
变式三:设每件商品的利润为x元(x为正整数),每件售价不能高于65元,每个月的销售利润为y件,求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大利润是多少元?
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?直接回答售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元?

分析 (1)根据月利润=月销量×每件的利润,即可一一解决问题.
(2)根据题意可知y=-10-(x-5.5)2+2402.5,当x=5.5时y有最大值.由x是整数,求出x=5或6时的y的值,即可判断.
(3)设y=2200,解得x的值.再结合函数的性质即可解决问题.

解答 解:(1)由题意得:y=(210-10x)(50+x-40)
=-10x2+110x+2100(0<x≤15且x为整数);
变式一:y=(210-10x)(50+x-40)=-10x2+110x+2100(0<x≤15且x为整数);
变式二:y=[210-10(50-x)](x-40)=10x2-690x+11600,(50<x≤65且x为整数);
变式三:y=x[210-10(40+x-50]=-10x2+310x,(10<x≤25且x为整数);

(2)由(1)中的y与x的解析式配方得:y=-10(x-5.5)2+2402.5.
∵a=-10<0,∴当x=5.5时,y有最大值2402.5.
∵0<x≤15,且x为整数,
当x=5时,50+x=55,y=2400(元),
当x=6时,50+x=56,y=2400(元),
∴当售价定为每件55或56元,每个月的利润最大,最大的月利润是2400元.

(3)当y=2200时,-10x2+110x+2100=2200,
解得:x1=1,x2=10.
∴当x=1时,50+x=51,当x=10时,50+x=60.
∴当售价定为每件51或60元,每个月的利润为2200元.
∴由图象可知,售价x在51≤x≤60时,个月的利润不低于2200元.

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题,根据每月的利润=一件的利润×月销售量,建立函数关系式,借助二次函数解决实际问题是解题关键.

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