Question

18．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：OE²=OD•OP；
（3）若BC=6，tan∠F=$\frac{1}{2}$，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，如图，先利用切线的性质得∠OBP=90°，再根据垂径定理得到AD=BD，即OP垂直平分AB，所以PA=PB，然后证明∠PAB+∠OAB=∠PBA+∠OBA=90°，从而根据切线的判定定理可得到直线PA为⊙O的切线；
（2）证明△OAD∽△OPA，利用相似比得到OA²=OD•OP，然后利用OE=OA，即可得到结论；
（3）连接AE，如图，先证明OD为△ABC的中位线得到OD=$\frac{1}{2}$BC=3，设DE=x，则OE=OA=OF=3+x，再根据圆周角定理得到∠F=∠DAE，则tan∠DAE=tan∠F=$\frac{1}{2}$，利用正切定义得到AD=2DE=2x，接着在Rt△ADF中利用正切定义得到$\frac{2x}{3+x+3}$=$\frac{1}{2}$，解得x=2，则AD=4，AD=6，OA=OE=5，然后利用余弦定义求出cos∠ACB的值；再利用OE²=OD•OP求出OP，从而可得到PE的长．

解答 （1）证明：连接OB，如图，
∵PB为⊙O的切线，
∴OB⊥PB，
∴∠OBP=90°，
∵BA⊥PF，
∴AD=BD，
即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠PAB+∠OAB=∠PBA+∠OBA=90°，即∠PAO=90°，
∴OA⊥PA，
∴直线PA为⊙O的切线；
（2）∵∠ADO=∠OAP=90°，∠AOD=∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OD}{OA}$，
∴OA²=OD•OP，
而OE=OA，
∴OE²=OD•OP；
（3）解：连接AE，如图，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∵OD垂直平分AB，
∴OD∥BC，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC=3，
设DE=x，则OE=OA=OF=3+x，
∵OD垂直平分AB，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠F=∠DAE，
∴tan∠DAE=tan∠F=$\frac{1}{2}$，
∴AD=2DE=2x，
在Rt△ADF中，tan∠F=$\frac{AD}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2x}{3+x+3}$=$\frac{1}{2}$，解得x=2，
∴AD=4，AD=6，OA=OE=5，
在Rt△ABC中，AC=2OA=10，
∴cos∠ACB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$；
∵OE²=OD•OP，
∴25=3×OP，解得OP=$\frac{25}{3}$，
∴PE=OP-OE=$\frac{25}{3}$-5=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时只有利用相似比计算相应线段的长．也考查了切线的判定与性质．