Question

16．如图，AB，AC分别切⊙O于B，C，⊙O的直径BD=6，连接CD，AO，BC．AO与BC相交于点E．
（1）求证：CD∥AO；
（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）若CD、AO（CD＜AO）的长分别为一元二次方程x²-9x+18=0的两个实数根，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由AB与AC都为圆的切线，根据切线的性质AC垂直于OC，AB与OB垂直，根据垂直的定义得到两个角为直角，在直角三角形ACO与直角三角形ABO中，由OC=OB，OA为公共边，利用HL得出三角形ACO与三角形ABO全等，根据全等三角形的对应边及对应角相等得到AB=AC，∠1=∠2，根据三线合一得到AO与BC垂直，又BD为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到CD与BC垂直，可得出DC与AO都与BC垂直，则AO平行于CD，得证；
（2）由第一问得到CD与AO平行，根据两直线平行同位角相等可得出∠3=∠4，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形BDC与三角形ABO相似，根据相似得比例，将各自的边长代入即可得出y与x的关系式，并根据直径为6，圆中的弦长小于等于直径可得出x的取值范围；
（3）由CD、AO的长分别为一元二次方程x²-9x+18=0的两个实数根，求出方程的解，可得出CD及AO的值，由CD=OB得出OB的长，在直角三角形ABO中，由AO及OB的长，利用勾股定理即可求出AB的长．

解答 解：（1）连接OC，
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴∠ACO=∠ABO=90°，
在Rt△ACO和Rt△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACO≌Rt△ABO（HL），
∴AB=AC，∠1=∠2，
∴AO⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠AEC，
∴CD∥AO；

（2）∵CD∥AO，∴∠3=∠4，
∵AB是⊙O的切线，DB是直径，
∴∠DCB=∠ABO=90°，
∴△BDC∽△AOB，
∴$\frac{BD}{AO}$=$\frac{DC}{OB}$，
即$\frac{6}{y}$=$\frac{x}{3}$，
∴y=$\frac{18}{x}$，
且自变量x的取值范围为0＜x＜6；

（3）将一元二次方程x²-9x+18=0化为：（x-3）（x-6）=0，
∴x=3或6，
∵CD、AO的长分别为一元二次方程x²-9x+18=0的两个实数根，且由（2）知x＜6，
∴只能取x=3，
∴CD=3，AO=6，
在Rt△AOB中，AO=6，OB=3，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，是一道综合性较强的题目，能灵活应用圆周角定理和切线长定理是解决问题的关键．