已知⊙O的半径为1.以O为原点.建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD.顶点B的坐标为(.0).顶点A在x轴上方.顶点D在⊙O上运动．(1)当点D运动到与点A.O在一条直线上时.CD与⊙O相切吗?如果相切.请说明理由.并求出OD所在直线对应的函数表达式,如果不相切.也请说明理由,(2)设点D的横坐标为x.正方形ABCD的面积为S.求出S与x的函数关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2005•常州）已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为（

，0），顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动．
（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；
（2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值．

【答案】分析：（1）易证CD是⊙O的切线，根据Rt△ODE∽Rt△OBA得到DE的长，再求出D₁的坐标，根据待定系数法，求出函数解析式；
（2）过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则BD²=BG²+DG²=（BO-OG）²+OD²-OG²，所以S=AB²=

BD²=7+

x，因为-1≤x≤1，所以S的最大值就可以求出．
解答：

解：（1）CD与⊙O相切．
∵A、D、O在一直线上，∠ADC=90°，
∴∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线．
CD与⊙O相切时，有两种情况：
①切点在第二象限时（如图1），
设正方形ABCD的边长为a，则a²+（a+1）²=13，
解得a=2，或a=-3（舍去），
过点D作DE⊥OB于E，
则Rt△ODE∽Rt△OBA，
∴

，
∴DE=

，OE=

，
∴点D₁的坐标是（-

，

），
∴OD所在直线对应的函数表达式为y=

；

②切点在第四象限时（如图2），
设正方形ABCD的边长为b，则b²+（b-1）²=13，
解得b=-2（舍去），或b=3，
过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，
∴

，
∴OF=

，DF=

，
∴点D₂的坐标是（

，-

），
∴OD所在直线对应的函数表达式为y=

；

（2）如图3，
过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，
则BD²=BG²+DG²=（BO-OG）²+OD²-OG²=（-

-x）²+1-x²=14+2

x，
∴S=AB²=

BD²=7+

x，
∵-1≤x≤1，
∴S的最大值为7+

，S的最小值为7-

．
点评：最值问题的解决方法，一般是转化为函数问题，转化为求函数的最值．

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