Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.

（1）判断DF与是⊙O的位置关系，并证明你的结论。
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）相切。证明：如图，连OD，AD，

∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，∴D是BC的中点，
∵OA=OB∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC∵DF⊥AC, ∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线.
（2）解：∵∠CDF＝22.5°，DF⊥AC，∴∠C＝67.5°，
∴∠BAC＝2∠DAC＝45°,
连接OE，则∠BOE＝2∠BAC＝90°，∴∠AOE＝90°,
∴S阴影＝ ×4×4＝4π－8.
【解析】（1）要证与圆有公共点的切线，可连接圆心和公共点，证直线和半径垂直，即OD⊥DF，可利用中位线定理和等腰三角形、直径所对90度圆周角的性质证出；（2）S阴影可转化为扇形面积减去AOE面积，需求圆心角∠BOE度数.
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的判定定理的相关知识，掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，以及对扇形面积计算公式的理解，了解在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）．