Question

13．如图，AO⊥OM，OA=4，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度为2．

Answer 1

分析 作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．

解答 解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO与△BEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠NBE}\\{∠AOB=∠BNE}\\{AB=BE}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=NE，BN=AO；
∵BO=BF，
∴BF=NE，
在△BPF与△NPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBP=∠ENP}\\{∠FPB=∠EPN}\\{BF=NE}\end{array}\right.$，
∴△BPF≌△NPE（AAS），
∴BP=NP=$\frac{1}{2}$BN；而BN=AO，
∴BP=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×4=2，
故答案为：2．

点评 本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．