如图：在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，且四边形ABCD为矩形，AB=4，点D与点A关于原点O成中心对称，tan∠ACB=$\frac{4}{3}$，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF=∠ACB．分析 （1）由tan∠ACB的值，求出cos∠ACB的值，再由矩形ABCO，以及AB的长，求出BC与AC的长，利用对称性确定出D坐标即可；
（2）由对称性得到∠CDE=∠CAO，利用等式的性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；
（3）根据题意得到点M在线段AB上，点N在y轴上，由于矩形的长：宽=4：3，得到$\frac{BC}{BM}=\frac{4}{3}$，或$\frac{BM}{BC}=\frac{4}{3}$，求得BM=$\frac{9}{4}$或BM=4（不合题意，舍去），于是得到结论．
解答 解：（1）由题意tan∠ACB=$\frac{4}{3}$，
∴cos∠ACB=$\frac{3}{5}$．
∵四边形ABCO为矩形，AB=4，
∴BC=$\frac{AB}{tan∠ACB}$=3，AC=$\frac{BC}{cos∠ACB}$=5，
∴A点坐标为（-3，0），
∵点D与点A关于y轴对称，
∴D（3，0）；
（2）点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO，
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性质）
∴∠AEF=∠DCE．
则在△AEF与△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE；
（3）存在，如图，
∵点M在第二象限，且在直线BC的下方，点N在平面内，
∵B、C、M、N为顶点的四边形是矩形，
∴点M在线段AB上，点N在y轴上，
∵矩形的长：宽=4：3，
∴$\frac{BC}{BM}=\frac{4}{3}$，或$\frac{BM}{BC}=\frac{4}{3}$，
∵BC=3，
∴BM=$\frac{9}{4}$或BM=4（不合题意，舍去），
∴M的坐标是（-3，$\frac{7}{4}$）．
点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
期末1卷素质教育评估卷系列答案科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知线段a．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个直角三角形ABC，以AB和BC分别为两条直角边，使AB=a，BC=$\frac{1}{2}$a（要求保留作图痕迹，不必写出作法）查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：填空题
如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为10．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
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科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | 0.378×107 | B． | 37.8×105 | C． | 3.78×106 | D． | 378×104 |
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科目：初中数学 来源： 题型：填空题
如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为150°，AB的长为30cm，扇面贴纸部分BD的长为20cm．则贴纸部分的面积为$\frac{1000}{3}$πcm2（结果保留π）．查看答案和解析>>
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如图所示，AB∥CD，NP平分∠MNB，已知∠1=20°，则∠2=（ ）