Question

（2009•黄石）已知关于x的函数y=ax²+x+1（a为常数）
（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）需考虑a为0和不为0的情况，当a=0时图象为一直线；当a≠0时图象是一抛物线，由判别式△=b²-4ac判断；
（2）根据抛物线的纵坐标的顶点公式列出不等式则可解．
解答：解：
（1）当a=0时，函数为y=x+1，它的图象显然与x轴只有一个交点（-1，0）．
当a≠0时，依题意得方程ax²+x+1=0有两等实数根．
∴△=1-4a=0，
∴a=．
∴当a=0或a=时函数图象与x轴恰有一个交点；

（2）依题意有，
当4a＞0，4a-1＞0，解得a＞；
当4a＜0，4a-1＜0，解得a＜0．
∴a＞或a＜0．
当a＞或a＜0时，抛物线顶点始终在x轴上方．
点评：函数可能是一次函数，也可能是二次函数；只有一个交点，那么b²-4ac=0；顶点在x轴上方，那么顶点纵坐标大于0．