Question

如图，梯形ABCD中，BC∥AD，∠BAD=90°，AD=18，BC=24，AB=m．在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．
（1）当CP=6时，试确定点E的位置．
（2）若设CP=x，BE=y，写出y关于x的函数关系式．
（3）在线段BC上能否找到不同的两点P₁、P₂，使得按上述作法得到的点E都分别与点A重合？若能，试求出此时m的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过D作DF于PC垂直，垂足为F，根据三个角为直角的四边形为矩形得到ABFD为矩形，根据矩形的对边相等得到BF=AD，而AD为18，故BF为18，由BC-BF求出FC=6，所以此时P与F重合，由BF与DF垂直得到此时E与B重合；
（2）分两种情况考虑：当P在BF上时，由PD与PE垂直，由BC，AB及CP，BE表示出FD，FP，PD的长，根据平角定义得到∠BPE与∠FPD互余，又根据直角三角形的两锐角互余得到∠EPB与∠BEP互余，根据同角的余角相等得到∠BEP=∠FPD，由一对直角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似得到三角形BEP与三角形PFD相似，由相似得比例即可列出y与x的关系式；当P在FC上时，画出图形，同理可得y与x的关系式，综上，得到y与x的关系式；
（3）存在，当E与A点重合时，BE=AB=m=y，此时P在BF上，由（2）对应的y与x的解析式，根据y=m列出关于m的方程，假设在线段BC上能找到两个不同的点P₁与P₂满足条件，故方程有两个不等的实数根，进而得到根的判别式大于0，且根据负数没有平方根，分别列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．

解答：解：（1）作DF⊥BC，F为垂足．
当PC=6时，
由已知可得四边形ABFD是矩形，FC=6，
∴点P与点F重合．又∵BF⊥FD，
∴此时点E与点B重合．

（2）当点P在BF上（即6＜x≤24）时，
由CP=x，BE=y，AB=m，BC=24，FC=6，
所以BP=24-x，PF=6-x，
∵∠EPB+∠DPF=90°，∠EPB+∠PEB=90°，
∴∠DPF=∠PEB，又∠B=∠PFD=90°，
∴△PBE∽△DPF，
∴

EB

BP

=

PF

DF

，即

y

24-x

=

x-6

m

，
∴y=-

1

m

(x2-30x+144)．
当点P在CF上（即0＜x≤6）时，
由CP=x，BE=y，AB=m，BC=24，AB=m，
所以FD=m，FP=6-x，BP=24-x，
∵∠EPB+∠DPF=90°，∠EPB+∠PEB=90°，
∴∠DPF=∠PEB，又∠EBP=∠PFD=90°，
∴△PBE∽△DPF，
∴

BP

FD

=

EB

PF

，即

24-x

m

=

y

6-x

，
∴y=

1

m

(x2-30x+144)．
综上：y=

- 1 m (x2-30x+144)(6＜x≤24) 1 m (x2-30x+144)(0＜x≤6)•

（3）能找到这样的两点．
当点E与点A重合时，AB=y=EB=m，
此时点P在线段BF上，根据（2）中的关系式，
则有m=-

1

m

(x2-30x+144)，整理得，x²-30x+144+m²=0①．
假设在线段BC上能找到两个不同的点P₁与P₂满足条件，
即方程①有两个不相等的正根，
首先要△=（-30）²-4×（144+m²）＞0，
然后应有x=15±

81-m2

＞0．
由△＞0解得81＞m²，由于

81-m2

＜15，m＞0，
∴0＜m＜9．

点评：此题考查了梯形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，以及一元二次方程的应用，其中第二问的思路为：根据P在作出的DF的两侧分两种情况，利用分类讨论的思想，根据相似得比例得出y与x的关系式，第三问的思路为：构造一元二次方程，根据方程解的情况得出根的判别式大于0，进而列出关于m的不等式，从而求出m的范围．学生求m范围时还要注意负数没有平方根这个隐含条件．