Question

9．抛物线y=-x²+bx+c与直线y=kx+m交于A（1，3），B（4，0）两点，点P是抛物线上A、B之间（不与点A、B重合）的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C、D．
（1）求抛物线与直线AB的解析式；
（2）当点C为线段AB的中点时，求PC的长；
（3）设点E的坐标为（s，t），当以点P、C、D、E为顶点的四边形为矩形时，用含有t的式子表示s，并求出s的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A点和B点坐标代入y=-x²+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）利用线段中点坐标公式求出C点坐标，再利用PC∥x轴可得到P点的纵坐标为$\frac{3}{2}$，然后根据二次函数图象上点的坐标特征确定P点坐标，再计算PC的长；
（3）设点P的坐标为（n，-n²+4n），利用四边形PCED为矩形可表示出C（s，-n²+4n），D（n，t），再利用点C、D在直线y=-x+4上得到-n²+4n=-s+4，t=-n+4，然后消去n得到s与t的函数关系式，再根据二次函数的性质确定s的范围．

解答 解：（1）∵点A（1，3），B（4，0）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=3}\\{-16+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x；
∵点A（1，3），B（4，0）在直线y=kx+m上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+m=3}\\{4k+m=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x+4；
（2）∵点C为线段AB的中点时，
∴C点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∵PC∥x轴，
∴P点的纵坐标为$\frac{3}{2}$，
当y=$\frac{3}{2}$时，-x²+4x=$\frac{3}{2}$，解得x₁=2+$\frac{\sqrt{10}}{2}$（舍去），x₂=2-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴P（2+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴PC=2+$\frac{\sqrt{10}}{2}$-$\frac{5}{2}$=$\frac{\sqrt{10}-1}{2}$；
（3）设点P的坐标为（n，-n²+4n），
∵四边形PCED为矩形，E（s，t），
∴C（s，-n²+4n），D（n，t），
而点C、D在直线y=-x+4上，
∴-n²+4n=-s+4，t=-n+4，即n=4-t，
∴-（4-t）²+4（4-t）=-s+4，
∴s=t²-4t+4（0＜t＜3），
∵s=（t-2）²，
∴抛物线的对称轴为直线t=2，
∵0＜t＜3时，当t=2时，s有最小值0，
而t=0时，s=4，
∴s的范围为0≤s＜4．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和矩形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．