Question

如图，在△ABC中，AC=BC，E，F分别为BC，AC的中点，连接AE，BF．
（1）如图1，求证：∠FBC=∠EAC；
（2）如图2，若∠C=90°，延长EA，BF至点M，N，BN=2BF，EM=2EA，请你探究线段BN与MN的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）证△AEC≌△BFC，根据全等三角形的性质推出即可．
（2）连接AN，作MH⊥AN于H，证△AFN≌△CFB，推出∠ANF=∠FBC，∠NAF=∠C=90°，求出∠MAH=∠AEC，AN=BC，证△MAH≌△AEC，推出AH=EC=HN=

1

2

BC=

1

2

AN，证△MAH≌△MNH，推出MN=AM=

1

2

EM=

1

2

BN，∠MNH=∠MAH=∠AEC，即可求出∠MNH+∠ANB=90°．

解答：证明：（1）∵AC=BC，E、F分别为BC、AC的中点，
∴BE=CE=AF=FC，
在△AEC和△BFC中，

AC=BC ∠C=∠C EC=FC

∴△AEC≌△BFC（SAS），
∴∠FBC=∠EAC．


（2）NB=2MN，BN⊥MN，
由（1）△AEC≌△BFC，
∴AE=BF，∠FBC=∠EAC，
∵BN=2BF，EM=2EA，
∴BN=EM，
连接AN，作MH⊥AN于H，
在△AFN和△CFB中，

AF=FC ∠AFN=∠BFC FN=BF

，
∴△AFN≌△CFB（SAS），
∴∠ANF=∠FBC，∠NAF=∠C=90°，
∵∠MAH+∠EAC=90°，∠AEC+∠EAC=90°，
∴∠MAH=∠AEC，AN=BC，
在△AMH和△AEC中，

∠AHM=∠C ∠MAH=∠AEC AM=EA

∴△MAH≌△AEC（AAS），
∴AH=EC=HN=

1

2

BC=

1

2

AN，
在△AMH和△NMH中，

MH=MH ∠AHM=∠MHN AH=HN

，
∴△MAH≌△MNH（SAS），
∴MN=AM=

1

2

EM=

1

2

BN，∠MNH=∠MAH=∠AEC，
∵∠EAC=∠FBC=∠ANF，
∴∠MNH+∠ANB=90°，
∴NB=2MN，BN⊥MN．

点评：本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，难道偏大．