Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，将四边形ACBD沿直线EF折叠，使D与C重合，CE与CF分别交AB于点G、H．
（1）求证：△AEG∽△CHG；
（2）若BC=1，求cos∠CHG的值．

Answer 1

（1）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠EAG=∠D=60°；
根据折叠的性质知：DE=CE，∠D=∠GCH=∠EAG=60°，
又∵∠EGA=∠HGC，
∴△AEG∽△CHG．

（2）△ABC中，∠BAC=30°，BC=1，则AC=

3

，AB=2；
故AD=AB=2；
设DE=EC=x，则AE=2-x；
在Rt△AEC中，由勾股定理，得：
（2-x）²+3=x²，解得x=

7

4

；
∴AE=

1

4

，EC=

7

4

，
∴cos∠AEC=

AE

EC

=

1

7

；
由（1）的相似三角形知：∠AEG=∠CHG，
故cos∠CHG=cos∠AEC=

1

7

．