Question

如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是的中点，连接AE、OD，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P．

(1)求∠AOD的度数；

(2)求证：PD是半圆O的切线．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：∵点C时OA的中点，∴OC＝OA＝OD 　　∵CD⊥OA，∴∠OCD＝90°． 　　在Rt△OCD中，cos∠COD＝ 　　∴∠COD＝60°，即∠AOD＝60°． 　　(2)证明：连结OE，∵点E是的中点， 　　∴， 　　∴∠BOE＝∠DOE＝∠DOB＝(180°－∠COD)＝(180°－60°)＝60°． 　　∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，又∠EAO＋∠AEO＝∠EOB＝60° 　　∴∠EAO＝30°， 　　∴PD∥AE， 　　∴∠P＝∠EAO＝30°． 　　由(1)知∠AOD＝60°，∴∠PDO＝180°－(∠P＋∠POD)＝180°－(30°＋60°)＝90°， 　　∴PD是半圆O的切线．