Question

如图，已知△ABC中，延长AC边上的中线BE到G，使EG=BE，延长AB边上的中线CD到F，使DF=CD，连接AF，AG．
（1）补全图形；
（2）AF与AG的大小关系如何？证明你的结论；
（3）F，A，G三点的位置关系如何？证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）补全图形，如图所示；
（2）AF=AG，理由为：根据D为AB中点，且CD=FD，夹角相等，利用SAS得到三角形AFD与三角形CBD全等，利用全等三角形对应边相等得到AF=BC，同理得到AG=BC，等量代换即可得证；
（3）F，A，G三点共线，理由为：由三角形AFD与三角形CBD全等，以及三角形AGE与三角形BEC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠FAB=∠ABC，∠GAC=∠ACB，利用三角形内角和定理及平角的定义即可得证．

解答：解：（1）补全图形，如图所示；
（2）AF=AG，理由为：
在△AFD和△BCD中，

AD=BD ∠ADF=∠BDC FD=CD

，
∴△AFD≌△BCD（SAS），
∴AF=BC，
在△AGE和△CBE中，

AE=CE ∠AEG=∠CEB GE=BE

，
∴△AGE≌△CBE（SAS），
∴AG=BC，
则AF=AG；
（3）F，A，G三点共线，理由为：
∵△AFD≌△BCD，△AGE≌△CBE，
∴∠FAB=∠ABC，∠GAC=∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠FAB+∠BAC+∠GAC=180°，
则F，A，G三点共线．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．