如图.⊙O的直径为4.C为⊙O上一个定点.∠ABC=30°.动点P从A点出发沿半圆弧$\widehat{AB}$向B点运动(点P与点C在直径AB的异侧).当P点到达B点时运动停止.在运动过程中.过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．(1)在点P的运动过程中.线段CD长度的取值范围为2$\sqrt{3}$$≤CD≤4\sqrt{3}$．(2)在点P的运动过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．

如图，⊙O的直径为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧$\widehat{AB}$向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．
（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为2$\sqrt{3}$$≤CD≤4\sqrt{3}$．
（2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为2$\sqrt{7}$+2$\sqrt{3}$．

分析（1）如图1中，由题意可知CD=PC•tan60°，所以只要求出PC的最小值和最大值即可解决问题．
（2）如图2中，点D在以BC为弦的⊙O′（红弧线）上运动，故当A、O′、D共线时，AD的值最大．求出此时AD的值即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，

∵AB是直径，∠ABC=30°，AB=4
∴∠ACB=90°，∠A=∠P=60°，AC=2，
∵CD⊥PC，
∴∠PCD=90°，CD=PC•tan60°，
∵PC的最小值=AC=2，PC的最大值为直径=4，
∴CD的最小值为2$\sqrt{3}$，最大值为4$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{3}$≤CD≤4$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$≤CD≤4$\sqrt{3}$．

（2）如图2中，

∵在Rt△PCD中，∠PCD=90°，∠P=60°，
∴∠PDC=30°，
∴点D在以BC为弦的⊙O′（红弧线）上运动，
∴当A、O′、D共线时，AD的值最大．连接CO′、BO′．
∵∠BO′C=2∠CDB=60°，O′C=O′B，
∴△O′BC是等边三角形，
∴BO′=BC=2$\sqrt{3}$，∠CBO′=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABO′=90°，
∴AO′=$\sqrt{A{B}^{2}+BO{′}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴AD=AO′+O′D=2$\sqrt{7}$+2$\sqrt{3}$．
∴AD的最大值为2$\sqrt{7}$+2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{7}$+2$\sqrt{3}$．

点评本题考查圆周角定理、锐角三角函数、勾股定理、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，所以中考常考题型．

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14．

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