Question

18．如图，已知抛物线y=ax²-5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
（3）若点N是抛物线上的动点，且点N在第四象限内，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件点N的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，0）在抛物线y=ax²-5ax+2上，解方程即可得到结论；
（2）把x=0代入y=$\frac{1}{2}$x²-5ax+2，求得C（0，2），根据抛物线的对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$，得到B（4，0），求出直线BC的解析式y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（3）设N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2），根据相似三角形的性质得到$\frac{OB}{BH}=\frac{OC}{HN}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=ax²-5ax+2上，
∴a-5a+2=0，∴a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-5ax+2；

（2）把x=0代入y=$\frac{1}{2}$x²-5ax+2，
解得：y=2，
∴C（0，2），
∵抛物线的对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=2，
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2；

（3）设N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2），
当△OBC∽△HBN时，如图，
∴$\frac{OB}{BH}=\frac{OC}{HN}$，即$\frac{4}{4-x}$=$\frac{2}{-（\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+2）}$，
解得：x₁=2，x₂=4（不合题意舍去），
∴N（2，-1），
当△OBC∽△NHB时，OB：HN=OC：BH，
即$\frac{4}{-（\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+2）}=\frac{2}{4-x}$，
解得：x₁=5，x₂=4（不合题意舍去），
∴N（5，2）．
又∵点N在第四象限，所有N（5，2）不合题意
∴N（2，-1）时满足条件

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，根据△OBC∽△HBN得到比例式是解题的关键．