【题目】如图1,在平面直角坐标系中,点、,将沿轴翻折得到,已知抛物线过点、,与轴交于点.
(1)抛物线顶点的坐标为_______;
(2)如图2,沿轴向右以每秒个单位长度的速度平移得到,运动时间为秒.当时,求与重叠面积与的函数关系式;
(3)如图3,将绕点顺时针旋转得到,线段与抛物线对称轴交于点.在旋转一圈过程中,是否存在点,使得?若存在,直接写出所有满足条件的点的坐标;若不存在,试说明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,(,)或(,)
【解析】
(1)由轴对称可得点B、C坐标,可求得抛物线解析式,进而得到抛物线顶点坐标;
(2)根据题意构造相似三角形,用t表示对于线段,再用割补法表示与重叠面积即可;
(3)由题意可知,点P为线段MN中点,由抛物线性质,求得P点坐标,设出M(m,n)坐标,再由三角形相似可得N点坐标,用中点坐标公式可表示P点坐标,构造方程可求m,n,则问题可解.
解:(1)由已知,点C坐标为(-1,0)
把(-1,0),(0,-4)代入,得
解得,
∴
则对称轴为直线
顶点纵坐标为:
∴ 顶点坐标为
故答案为:
(2)连BG,设BD交GE于点K,BD交FG于 T,过K做HK⊥FG于H
由(1)可知,点D坐标为(4,0)
则
由已知,,
∵GB∥OD
∴
则有,则,
得:
,
(3)(,)或(,)
如图,当M在第四象限时,根据题意可知:当点是中点时,
∴MN=BC=
则,
P到x轴距离为:
可得:
分别过点M、N作MF⊥y轴于点F,NE⊥y轴于点E
0
∵
∴
∵
∴
∴设,则,
∴点P坐标为(, )
∴
解得
∴M坐标为(,)
当点M在第三象限时,同理,设,则
∴点P坐标为(, )
同理点
∴
解得
∴M坐标为(,)
故答案为(,)或(,)
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【题目】如图,在平面系中,一次函数的图像经过定点A,反比例函数的图像经过点A,且与一次函数的图像相交于点B(,m).
(1)求m、a的值;
(2)设横坐标为n的点P在反比例函数图象的第三象限上,且在点B右侧,连接AP、BP,△ABP的面积为12,求代数式的值.
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【题目】化简:++…+.
为了能找到复杂计算问题的结果,我们往往会通过将该问题分解,试图找寻算式中每个式子是否存在某种共同规律,然后借助这个规律将问题转化为可以解决的简单问题.下面我们尝试着用这个思路来解决上面的问题.请你按照这个思路继续进行下去,并把相应横线上的空格补充完整.
(分析问题)第1个加数:=﹣;
第2个加数:=﹣;
第3个加数:=﹣;
第4个加数: =﹣;
(总结规律)第n个加数: = ﹣ .
(解决问题)请你利用上面找到的规律,继续化简下面的问题.(结果只需化简,无需求出最后得数)++…+.
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【题目】扬州包子是淮扬菜系的维扬点心代表,里面的馅品种丰富.早饭准备了四个包子,一个蟹黄包、一个松籽包、两个三鲜包,四个包子除馅外其他都相同.
(1)请预测“吃一个包子恰好是松籽包”的概率是_______;
(2)请用画树状图或用表格的方法预测“吃两个包子恰好是三鲜包”的概率.
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【题目】关于二次函数,以下结论:①抛物线交轴有两个不同的交点;②不论取何值,抛物线总是经过一个定点;③设抛物线交轴于、两点,若,则;④抛物线的顶点在图象上;⑤抛物线交轴于点,若是等腰三角形,则,,.其中正确的序号是( )
A. ①②⑤ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ②④
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【题目】学校随机对本校部分学生进行“假期中,我在家可以这么做:.扎实学习、.快乐游戏、.经典阅读、.分担劳动、.乐享健康”网络调查,并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图(若每一位同学只能选择一项),请根据图中信息,回答下列问题.
(1)这次调查的总人数是___________人;
(2)请补全条形统计图,并说明扇形统计图中所对应的圆心角是___________度;
(3)若该学校共有学生1700人,则选择有多少人?
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O.
(1)如图①,连接OA,OC,若,求的度数;
(2)如图②,直径CD的延长线与过点A的切线相交于点P.若,⊙O的半径为2,求AD,PD的长.
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