Question

已知关于x的方程x²-（2k-3）x+k²+1=0．
问：（1）当k为何值时，此方程有实数根；
（2）若此方程的两实数根x₁、x₂，满足|x₁|+|x₂|=3，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由于方程有实数根，所以利用其判别式是非负数即可求解；
（2）由于方程的两实数根x₁、x₂，满足|x₁|+|x₂|=3，首先把等式两边同时平方，然后利用根与系数的关系即可求解．

解答：解：（1）若方程有实数根，
则△=（2k-3）²-4（k²+1）≥0，
∴k≤

5

12

，
∴当k≤

5

12

，时，此方程有实数根；
（2）∵此方程的两实数根x₁、x₂，满足|x₁|+|x₂|=3，
∴（|x₁|+|x₂|）²=9，
∴x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=9，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=9，
而x₁+x₂=2k-3，x₁x₂=k²+1，
∴（2k-3）²-2（k²+1）+2（k²+1）=9，
∴2k-3=3或-3，
∴k=0或3，k=3不合题意，舍去；
∴k=0．

点评：此题分别考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，首先利用判别式求出k的取值范围，然后利用根与系数的关系得到关于k的方程，解方程即可解决问题．