分析 如图,作OH⊥CD于H,OK⊥BC于K,延长OM到P使得MP=OM,首先证明△OKG≌△OHF,推出OF=OG,再证明△EOP≌△OAF,推出AF=OP,根据S△AOF=$\frac{1}{2}$•AF•ON=S△ADC-S△ADF-S△OCF,求出ON,再求出OM即可解决问题.
解答 解:如图,作OH⊥CD于H,OK⊥BC于K,延长OM到P使得MP=OM.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACB=∠ACD,∵OH⊥CD,OK⊥CB,∠BAC=45°,
∴OH=OK,
∵∠OKC=∠OHC=∠BCD=90°,
∴四边形OHCK是矩形,
∴∠KOH=∠GOF=90°,
∴∠KOG=∠HOF,∵∠OKG=∠OHF=90°,
∴△OKG≌△OHF,
∴OG=OF,
∵EO⊥OA,
∴∠OAE=∠OEA=45°,
∴OA=OE,
∵MG=ME,MO=MP,∠OMG=∠PME,
∴△OMG≌△PME,
∴OG=PE=OF,∠P=∠MOG,
∴PE∥OG,
∴∠OEP+∠EOG=180°,
∵∠AOF+∠EOG=180°,
∴∠OEP=∠AOF,∵OA=OE,OF=PE,
∴△EOP≌△OAF,
∴AF=OP,∴∠OAF=∠POE,
∵∠POE+∠AON=90°,
∴∠OAF+∠AON=90°,
∴∠ANO=90°,
∴ON⊥AF,
∵S△AOF=$\frac{1}{2}$•AF•ON=S△ADC-S△ADF-S△OCF,
∴$\frac{1}{2}$•$\sqrt{13}$•ON=$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$•1•$\frac{\sqrt{2}}{2}$(3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{3}$),
∴ON=$\frac{\sqrt{78}}{13}$,
∵OM=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{13}}{2}$,
∴MN=ON+OM=$\frac{\sqrt{78}}{13}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$.
故答案为$\frac{\sqrt{78}}{13}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$.
点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题,学会利用面积法求线段,属于中考填空题中的压轴题.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 3.14159 | B. | $\root{3}{-27}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D. | $\sqrt{81}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | y=x2-x-2 | B. | y=-x2+x+2 | C. | y=x2+x+2 | D. | y=-x2-x-2 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | y1>y2>y3 | B. | y1>y3>y2 | C. | y2>y3>y1 | D. | y3>y1>y2 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | 3 | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 30° | B. | 60° | C. | 80° | D. | 100° |
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