【题目】如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE=CF.
(1)求证:△BOE≌△DOF;
(2)连接DE,BF,若BD⊥EF,试探究四边形EBFD的形状,并对结论给予证明.
【答案】(1)详见解析;(2)四边形EBFD为菱形.
【解析】
(1)根据平行四边形的性质可得BO=DO,AO=CO,再利用等式的性质可得EO=FO,然后再利用SAS定理判定△BOE≌△DOF即可;
(2)根据BO=DO,FO=EO可得四边形BEDF是平行四边形,再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形EBDF为菱形.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=DO,AO=CO.
∵AE=CF,
∴AO-AE=CO-CF,
即EO=FO.
在△BOE和△DOF中,
∴△BOE≌△DOF(SAS).
(2)四边形EBFD为菱形,
证明:∵BO=DO,FO=EO,
∴四边形BEDF是平行四边形.
∵BD⊥EF,
∴四边形EBFD为菱形.
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【题目】随着深圳东进战略的加速实施,市勘探工程队在坪山沿惠州方向一山坡平台处搭建临时工棚.为方便搬运器材,决定降低平台CE前的坡度,已知平台与地面的铅直高为10米,坡面BC的坡度为1∶1,新坡面的坡度为1∶ .
(1)求新坡面的坡角a;
(2)平台CE前的坡度降低后,原坡面底部正前方7米处(PB的长)地面上有一指示牌P是否会覆盖?请说明理由.
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【题目】在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示,现将△ABC平移,使点A变换为点A′,点B′、C′分别是B、C的对应点.
(1)请画出平移后的△A′B′C′,并求△A′B′C′的面积;
(2)若连接AA′,CC′,则这两条线段之间的关系是 .
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【题目】已知△ABC,AB=AC=5,BC=8,∠PDQ的顶点D在BC边上,DP交AB边于点E,DQ交AB边于点O且交CA的延长线于点F(点F与点A不重合),设∠PDQ=∠B,BD=3.
(1)求证:△BDE∽△CFD;
(2)设BE=x,OA=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3)当△AOF是等腰三角形时,求BE的长.
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【题目】我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形.请解决下列问题:
(1)已知:如图1,四边形ABCD是等对角四边形,∠A≠∠C,∠A=70°,∠B=75°,则∠C=°,∠D=°
(2)在探究等对角四边形性质时: 小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD,其中,∠ABC=∠ADC,AB=AD,此时她发现CB=CD成立,请你证明该结论;
(3)图①、图②均为4×4的正方形网格,线段AB、BC的端点均在网点上.按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD. 要求:四边形ABCD的顶点D在格点上,所画的两个四边形不全等.
(4)已知:在等对角四边形ABCD中,∠DAB=60°,∠ABC=90°,AB=5,AD=4,求对角线AC的长.
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于( )
A.2
B.
C.
D.
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【题目】水利部确定每年的3月22日至28日为“中国水周”(1994年以前为7月1日至7日),从1991年起,我国还将每年5月的第二周作为城市节约用水宣传周.某社区为了进一步提高居民珍惜水、保护水和水忧患意识,提倡节约用水,从本社区5000户家庭中随机抽取100户,调查他们家庭每月的平均用水量,并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图表:
用户月用水量频数分布表 | ||
平均用水量(吨) | 频数 | 频率 |
3~6吨 | 10 | 0.1 |
6~9吨 | m | 0.2 |
9~12吨 | 36 | 0.36 |
12~15吨 | 25 | n |
15~18吨 | 9 | 0.09 |
请根据上面的统计图表,解答下列问题:
(1)在频数分布表中:m=__ __,n=__ __;
(2)根据题中数据补全频数直方图;
(3)如果自来水公司将基本月用水量定为每户每月12吨,不超过基本月用水量的部分享受基本价格,超出基本月用水量的部分实行加价收费,那么该社区用户中约有多少户家庭能够全部享受基本价格?
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【题目】阅读与思考 婆罗摩笈多(Brahmagupta),是一位印度数学家和天文学家,书写了两部关于数学和天文学的书籍,他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位,他的负数概念及加减法运算仅晚于中国《九章算术》,而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的,他还提出了著名的婆罗摩笈多定理,该定理的内容及部分证明过程如下:
已知:如图1,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC⊥BD于点P,PM⊥AB于点M,延长MP交CD于点N,求证:CN=DN.
证明:在△ABP和△BMP中,∵AC⊥BD,PM⊥AB,
∴∠BAP+∠ABP=90°,∠BPM+∠MBP=90°.
∴∠BAP=∠BPM.
∵∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC.
∴…
(1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程,完成剩余的证明部分.
(2)已知:如图2,△ABC内接于⊙O,∠B=30°,∠ACB=45°,AB=2,点D在⊙O上,∠BCD=60°,连接AD,与BC交于点P,作PM⊥AB于点M,延长MP交CD于点N,则PN的长为 .
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