分析 【小试牛刀】根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出.
【知识运用】(1)连接CD,作CE⊥AD于点E,根据AD⊥AB,BC⊥AB得到BC=AE,CE=AB,从而得到DE=AD-AE=24-16=8千米,利用勾股定理求得CD两地之间的距离.
(2)连接CD,作CD的垂直平分线角AB于P,P即为所求;设AP=x千米,则BP=(40-x)千米,分别在Rt△APD和Rt△BPC中,利用勾股定理表示出CP和PD,然后通过PC=PD建立方程,解方程即可.
【知识迁移】根据轴对称-最短路线的求法即可求出.
解答 解:【小试牛刀】S梯形ABCD=$\frac{1}{2}$a(a+b),S△EBC=$\frac{1}{2}$b(a-b),S四边形AECD=$\frac{1}{2}$c2,
它们满足的关系式为:$\frac{1}{2}$a(a+b)=$\frac{1}{2}$b(a-b)+$\frac{1}{2}$c2,
答案为:$\frac{1}{2}$a(a+b),$\frac{1}{2}$b(a-b),$\frac{1}{2}$c2,$\frac{1}{2}$a(a+b)=$\frac{1}{2}$b(a-b)+$\frac{1}{2}$c2.
【知识运用】(1)如图2①,连接CD,作CE⊥AD于点E,
∵AD⊥AB,BC⊥AB,
∴BC=AE,CE=AB,
∴DE=AD-AE=24-16=8千米,
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+4{0}^{2}}$=8$\sqrt{26}$(千米),
∴两个村庄相距8$\sqrt{26}$千米.
故答案为:8$\sqrt{26}$.
(2)如图2②所示:
设AP=x千米,则BP=(40-x)千米,
在Rt△ADP中,DP2=AP2+AD2=x2+242,
在Rt△BPC中,CP2=BP2+BC2=(40-x)2+162,
∵PC=PD,
∴x2+242=(40-x)2+162,
解得x=16,
即AP=16千米.
【知识迁移】:如图3,
先作出点C关于AB的对称点F,连接DF,过点F作EF⊥AD与E,即:DF就是代数式$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{(16-x)^{2}+81}$的最小值.
代数式$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{(16-x)^{2}+81}$的几何意义是线段AB上一点到点D,C的距离之和,
而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点,
从而构造出了以AB为一条直角边,AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形,斜边就是最小的值,
∴代数式$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{(16-x)^{2}+81}$的最小值为:$\sqrt{D{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{(AD+BC)^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{(9+3)^{2}+1{6}^{2}}$=20.
点评 此题是四边形是四边形综合题,主要考查了证明勾股定理,勾股定理的应用,轴对称-最短路线问题以及线段的垂直平分线等,证明勾股定理常用的方法是利用面积证明,是解本题的关键.构造出直角三角形DEF是解本题的难点.
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A. | y=(x-23)2+155 | B. | y=(x+23)2+155 | C. | y=-(x-23)2-155 | D. | y=-(x+23)2+155 |
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A. | 3x2-x2=3 | B. | 3a2+2a3=5a5 | C. | 5x3-x3=4x3 | D. | -0.5ab+$\frac{1}{4}$ba=0 |
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