Question

13．已知：抛物线y=x²-4x-m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点．
（1）若m=5时，求△ABD的面积．
（2）若在（1）的条件下，点E在线段BC下方的抛物线上运动，求△BCE面积的最大值．
（3）写出C点（0，-m）、C′点（4，-m）坐标（用含m的代数式表示）
如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出Q点和P点的坐标（可用含m的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）将m=5代入y=x²-4x-m，得y=x²-4x-5，求出A、B、D三点的坐标，根据三角形面积公式即可求出△ABD的面积；
（2）点E在线段BC下方的抛物线上时，设E（m，m²-4m-5），过点E作y轴的平行线交BC于F．利用待定系数法求出直线BC的解析式，可用含m的代数式表示点F的坐标，继而可得线段EF的长，然后利用S_△BCE=S_△CEF+S_△BEF=$\frac{1}{2}$EF•BO，得出S关于m的二次函数解析式，然后利用二次函数的性质求出最大值；
（3）把x=0代入y=x²-4x-m，求出C点坐标，再根据二次函数的对称性求出C′点的坐标；
以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，可分两种情况：①CC′为对角线，由平行四边形对角线的性质可求出Q点和P点的坐标；②CC′为一条边，根据平行四边形对边平行且相等，亦能求出Q点和P点的坐标．

解答 解：（1）若m=5时，抛物线即为y=x²-4x-5，
令y=0，得x²-4x-5=0，
解得x=5或x=-1，
则A（-1，0），B（5，0），AB=6．
∵y=x²-4x-5=（x-2）²-9，
∴顶点D的坐标为（2，-9），
∴△ABD的面积=$\frac{1}{2}$×AB×|y_D|=$\frac{1}{2}$×6×9=27；

（2）如图1，过点E作y轴的平行线交BC于F．
在（1）的条件下，有y=x²-4x-5，则C（0，-5），
设直线BC的解析式为y=kx-5（k≠0）．
把B（5，0）代入，得0=5k-5，
解得k=1．
故直线BC的解析式为：y=x-5．
设E（m，m²-4m-5），则F（m，m-5），
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$EF•OB=$\frac{1}{2}$×（m-5-m²+4m+5）×5=-$\frac{5}{2}$（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{125}{8}$，
即S_△BCE=-$\frac{5}{2}$（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{125}{8}$，
∴当m=$\frac{5}{2}$时，△BCE面积的最大值是$\frac{125}{8}$；

（3）∵y=x²-4x-m（m＞0），
∴x=0时，y=-m，对称轴为直线x=2，
∴C（0，-m），
∵C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点，
∴C′（4，-m）．
以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：
①线段CC′为对角线，如图2，
∵平行四边对角线互相平分，
∴PQ在对称轴上，此时P点为抛物线的顶点，与D点重合，
∵y=x²-4x-m=（x-2）²-4-m，
∴P（2，-4-m），
∵线段PQ与CC′中点重合，C（0，-m），C′（4，-m），设Q（2，y），
∴$\frac{-4-m+y}{2}$=-m，解得y=4-m，
∴Q（2，4-m）；
②线段CC′为边，如图3，
∵以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ=CC′=4，
设点Q的坐标为（2，y），则点P坐标为（6，y）或（-2，y），
∵点P在抛物线上，
将x=6和x=-2分别代入y=x²-4x-m中，解得y均为12-m，
故点P的坐标为（6，12-m）或（-2，12-m），Q（2，12-m）．
综上所述，如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，Q点和P点的坐标分别是：
Q（2，4-m），P（2，-4-m）或Q（2，12-m），P（6，12-m） 或Q（2，12-m），P（-2，12-m）．
故答案为0，-m，4，-m．

点评 本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，平行四边形的性质，抛物线的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．