Question

16．若二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁的图象记为C₁，其顶点为A，二次函数y=a₂x²+b₂x+c₂的图象记为C₂，其顶点为B，且满足点A在C₂上，点B在C₁上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．
（1）写出二次函数y=x²的一个“伴侣二次函数”；
（2）设二次函数y=x²-2x+3与y轴的交点为P，求以点P为顶点的二次函数y=x²-2x+3的“伴侣二次函数”；
（3）若二次函数y=2x²-1与其“伴侣二次函数”的顶点不重合，试求该“伴侣二次函数”的二次项系数．

Answer 1

分析 （1）根据解析式求得顶点坐标和经过的任意点的坐标，根据“伴侣二次函数”定义，设关系式为y=a（x-2）²+4，代入顶点坐标，即可求得系数a，可得答案；
（2）令x=0，则y=x²-2x+3=3，得到与y轴的交点坐标，然后求得顶点坐标，然后根据“伴侣二次函数”的定义，可求解；
（3）根据“伴侣二次函数”的顶点在对方的图象上，列出关系式，进而得出ax²=-2h²，可得a=-2．

解答 解：（1）∵y=x²，
∴顶点坐标为（0，0）且经过点（2，4）．
设以（2，4）为顶点且经过（0，0）的抛物线的函数关系式为y=a（x-2）²+4，
将x=0，y=0代入y=a（x-2）²+4，解得a=-1．
∴二次函数y=x²的一个“伴侣二次函数”为y=-（x-2）²+4；

（2）令x=0，则y=x²-2x+3=3，
所以二次函数y=x²-2x+3与y轴的交点P坐标为（0，3）；
∵y=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴顶点坐标为（1，2）．
设以（0，3）为顶点且经过（1，2）的抛物线的函数关系式为y=ax²+3，
将x=1，y=2代入y=ax²+3，解得a=-1．
∴以点P为顶点的二次函数y=x²-2x+3的“伴侣二次函数”为y=-x²+3；

（3）y=2x²-1，其顶点为（0，-1），y=a₂（x+h）²+k，其顶点为（-h，k），
∵二次函数y₁=a₁x²+b₁x+c₁与其伴侣二次函数y₂=a₂x²+b₂x+c₂的顶点不重合，
∴h≠0时k≠-1，
根据“伴侣二次函数”定义可得-1=ah²+k，k=2h²-1，
∴ax²=-2h²
∴a=-2，
∴该“伴侣二次函数”的二次项系数为-2．

点评 本题考查了二次函数的性质，伴侣二次函数的顶点在对方的图象上是解题关键．