Question

13．如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB，交CB的延长线于点G，∠G=90°．
求证：四边形DEBF是菱形．

Answer 1

分析 根据已知条件证明BE=DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，再证明DE=BE，根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$CD．
∴BE=DF，BE∥DF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，∵E为AB的中点，
∴AE=BE=DE，
∴四边形DEBF是菱形．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，正确得出ED=BE是解题关键．