Question

18．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点A（-2，0），B（2，4），C（4，0）．
（1）求△ABC的面积；
（2）点D为y轴负半轴上一动点，连接BD交x轴于点E，是否存在点D使得S_△ADE=S_△BCE？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点A、B、C为平行四边形的三个顶点，试写出第四个顶点P的坐标，你的答案唯一吗？
（4）求出（3）中平行四边形的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面积公式计算即可；
（2）设出点D坐标，进而得出点E坐标，表示出AE，CE，最后用三角形的面积公式建立方程求解即可；
（3）由平行四边形的性质即可得出结论；
（4）平行四边形的面积等于一条对角线将它分成的两个三角形中一个的2倍即可．

解答 解：（1）如图1，过点B作BH⊥AC于D，
∵A（-2，0），B（2，4），C（4，0），
∴AC=6，BH=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BH=$\frac{1}{2}$×6×4=12，


（2）如图2，设D（0，b），
∵B（2，4），
∴直线BD的解析式为y=$\frac{4-b}{2}$x+b，
∴E（$\frac{2b}{b-4}$，0），
∴AE=$\frac{2b}{b-4}$+2，CE=4-$\frac{2b}{b-4}$，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE×OD=$\frac{1}{2}$（$\frac{2b}{b-4}$+2）×（-b），
S_△BCE=$\frac{1}{2}$CE×|y_B|=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{2b}{b-4}$）×4，
∵S_△ADE=S_△BCE，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{2b}{b-4}$+2）×（-b）=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{2b}{b-4}$）×4，
∴b=4（舍）或b=-4，
∴D（0，-4）；

（3）答案不唯一，
理由：如图3，
Ⅰ、以AC为边时，过点B作BP₁∥AC，
∵B（2，4），
∴直线BP₁的解析式为y=4，
∵BP₁∥AC，BP₁=BP₂=AC=6，
∴P₁（8，4），P₂（-4，4），
Ⅱ、当AC为对角线时，BP₃与AC互相平分，
设P₃（m，n），
∴m+2=2，n+4=0，
∴m=0，n=-4，
∴P₃（0，-4），
即：满足条件的点P（-4，4），（0，-4），（8，4）；
（4）由平行四边形的性质得，S_{平行四边形}=2S_△ABC=24．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了三角形的面积公式，平行四边形的性质，待定系数法；解（2）的关键是用面积相等建立方程，解（3）的关键是利用平行四边形的对边平行和相等求出点P坐标．