Question

14．如图，海岛A在灯塔O处北偏东25°，海岛B在灯塔O处北偏东55°，海岛A在海岛B的北偏西80°，已知海岛A到灯塔的距离为80海里，求海岛B到灯塔的距离．（结果保留根号）

Answer 1

分析 根据已知条件得出各角的度数，从而得出∠B的度数，作出AC⊥BO，利用解直角三角形的知识即可求出．

解答 解：过点A作AC⊥OB于C，
∵海岛A在灯塔O处北偏东25°，海岛B在灯塔O处北偏东55°，海岛A在海岛B的北偏西80°，
∴∠AOC=30°，∠OAB=25°+80°=105°，
∴∠ABC=45°，
∴AC=BC，
∵海岛A到灯塔的距离为80海里，∠AOC=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$OA=40，即BC=40，
∵cos30°=$\frac{OC}{AO}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{OC}{80}$，
解得：OC=40$\sqrt{3}$，
∴OB=CO+BC=40+40$\sqrt{3}$．
答：海岛B到灯塔的距离是（40+40$\sqrt{3}$）海里．

点评 此题主要考查了方向角问题，作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．