Question

（2013•高邮市二模）如图，半径为

3

cm的⊙O从斜坡上的A点处沿斜坡滚动到平地上的C点处，已知∠ABC=120°，AB=10cm，BC=20cm，那么圆心O运动所经过的路径长度为（　　）

• A．30cm
• B．29cm
• C．28cm
• D．27

  3

  cm

Answer 1

分析：首先根据题意画出图形，然后可得当⊙O运动到⊙D位置时，与AB，BC都相切，连接OA，O′C，DE，DF，易得四边形OAED与四边形DFCO′是矩形，然后由勾股定理求得BF与BE的长，继而可求得答案．

解答：解：如图：当⊙O运动到⊙D位置时，与AB，BC都相切，连接OA，O′C，DE，DF，
则OA⊥AB，DE⊥AB，DF⊥BC，O′C⊥BC，
∴四边形OAED与四边形DFCO′是矩形，
∴OD=AE，O′D=CF，
∵∠ABC=120°，
∴∠DBF=

1

2

∠ABC=60°，
∵DF=

3

cm，
∴BF=

DF

tan60°

=1（cm），
同理：BE=1cm，
∴AE=AB-BE=9（cm），CF=BC-BF=19（cm），
∴OD=9cm，O′D=19cm，
∴圆心O运动所经过的路径长度为：OD+O′D=28（cm）．
故选C．

点评：此题考查了切线的性质、切线长定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．