Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交与点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：∠BCD=∠BAN．
（2）若AC=4，PC=3，求MN•BC的值．

Answer 1

分析 （1）由AC为⊙O直径，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到结论．
（2）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC=∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AC为⊙O直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠NAC+∠ACN=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAN=∠CAN，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠ACP=90°，
∴∠ACN+∠PCB=90°，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠BCP=∠BAN；

（2）∵AC=4，PC=3，
∴AP=5，
∴PB=1，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC²=PM•PA，
∴PM=$\frac{9}{5}$，
∴AM=$\frac{16}{5}$，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，
∴∠PBC=∠AMN，
由（1）知∠BCP=∠BAN，
∴△BPC∽△MNA，
∴$\frac{PB}{MN}$=$\frac{BC}{AM}$，
∴MN•BC=PB•AM=$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理．