Question

9．如图，已知点C在以AB为直径的⊙O上，过点B、C作⊙O的切线，且交于点P，联结AC，若OP=$\frac{9}{2}$AC．求$\frac{PB}{AC}$的值．

Answer 1

分析 连接OC、BC，根据切线的性质得到∠POC=∠POB．由圆周角定理得到∠COB=2∠OAC，等量代换得到∠POB=∠OAC，根据平行线的判定得到OP∥AC，推出△BAC∽△POB，由相似三角形的性质得到$\frac{AC}{OB}=\frac{AB}{OP}$，设r为⊙O的半径，于是得到AB=2r，OB=r，代入比例式得到OP=3r，AC=$\frac{2}{3}$r，由勾股定理得PB=$\sqrt{O{P}^{2}-O{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r，即可得到结论．

解答 解：连接OC、BC，
∵PC、PB为⊙O的切线，
∴∠POC=∠POB．
又∵∠COB=2∠OAC，
∴∠POB=∠OAC，
∴OP∥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠OBP=90°，
∴△BAC∽△POB，
∴$\frac{AC}{OB}=\frac{AB}{OP}$，
设r为⊙O的半径，
∴AB=2r，OB=r，
∵OP=$\frac{9}{2}$AC，
∴OP=3r，AC=$\frac{2}{3}$r，
在Rt△POB 中，由勾股定理得PB=$\sqrt{O{P}^{2}-O{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r，
∴$\frac{PB}{AC}$=$\frac{2\sqrt{2}r}{\frac{2}{3}r}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．